Mostre que se
então
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos a função
e precisamos provar que a soma das derivadas parciais de
em relação a
,
e
é igual a
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Mantendo
e
constantes, derivamos cada termo da função:
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
e
constantes:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
e
constantes:
Passo 5
Vamos somar as três derivadas parciais que calculamos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, observamos que a expressão resultante é o desenvolvimento do quadrado da soma
:
Resposta
Portanto, mostramos que: