Mostre que se w=x^2 y+y^2 z+z^2 x então partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=(x+y+z)^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos a função e precisamos provar que a soma das derivadas parciais de em relação a , e é igual a . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = 2x y + z^2 em relação a . Mantendo e constantes, derivamos cada termo da função:

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial wpartial y = x^2 + 2y z em relação a , mantendo e constantes:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de partial wpartial z = y^2 + 2z x em relação a , mantendo e constantes:

Passo 5

Vamos somar as três derivadas parciais que calculamos:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = (2x y + z^2) + (x^2 + 2y z) + (y^2 + 2z x)
Simplificando os termos:
= x^2 + y^2 + z^2 + 2x y + 2y z + 2z x

Passo 6

Agora, observamos que a expressão resultante é o desenvolvimento do quadrado da soma (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2x y + 2y z + 2z x :

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = (x + y + z)^2

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