Determine as derivadas parciais das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda quando temos funções compostas, como é o caso aqui com dentro do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Ela mede como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Então, vamos calcular e separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é , onde . Então, aplicando a regra:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de em relação a . Isso é simples:

Passo 5

Substituímos de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora vamos calcular . O processo é bem parecido com o que fizemos para :

Passo 7

Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 8

Substituímos na expressão:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Encontre os valores de e tais que a função abaixo é continua em todos os pontos:
Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada em cada item abaixo.
(b) , .