Use a Regra da Cadeia para achar a derivada em cada item abaixo.
(b) , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar a derivada da função , onde , e . Basicamente, vamos precisar aplicar a derivada composta, já que depende de , e ele mesmo, que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. Se temos uma função que depende de , e mesmo, e essas variáveis dependem de , então a derivada será:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a :
  1. quando :
  1. quando :
  1. quando :

Passo 5

Substituindo todas as derivadas na equação da Regra da Cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir , e na expressão:

Passo 7

Simplificando a expressão. Sabemos que , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 8

Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:

Resposta

A derivada é .

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Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais em cada item abaixo.
(b) .
Encontre o limite ou demonstre que não existe