Encontre os valores de e tais que a função abaixo é continua em todos os pontos:
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função que muda de expressão dependendo do valor de . A questão pede para a gente encontrar os valores de e de forma que essa função seja contínua em todos os pontos. Isso significa que não pode ter “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite pela esquerda precisa ser igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 2, que é onde a definição da função muda. Para , a função é:
Vamos simplificar essa expressão. Note que o numerador é uma diferença de quadrados:
Então,
Portanto, o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda () é:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece para . A função é:
Para que a função seja contínua em , o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em :
Como o limite pela esquerda é 4, temos:
Simplificando:
çã
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade em . Para , a função é:
E para , a função é:
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3 pela esquerda ():
E o limite pela direita () é:
Para a continuidade em , esses dois limites devem ser iguais:
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações para resolver:
çãçã
Podemos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 2:
çã
E a Equação 2 dividindo tudo por 2:
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Agora, vamos resolver esse sistema. Da Equação 1 simplificada, podemos isolar :
Substituindo esse valor de na Equação 2 simplificada: