Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é encontrar as derivadas parciais da função
. Derivadas parciais são tipo variações da função quando a gente muda apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Nesse caso, tratamos
como uma constante.
A função é
.
Derivando termo por termo:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é (usando a derivada de que é ).
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função continua sendo
.
Derivando termo por termo:
- A derivada de
em relação a é (porque a derivada de é ). - A derivada de
em relação a é (pois é constante em relação a ).
Então,
.
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e