Determine as derivadas parciais das funções abaixo: f(x, y) = x * e^y + y * sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é encontrar as derivadas parciais da função . Derivadas parciais são tipo variações da função quando a gente muda apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Nesse caso, tratamos como uma constante.
A função é .
Derivando termo por termo:
  • A derivada de em relação a é (porque é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é (usando a derivada de que é ).
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Aqui, tratamos como uma constante.
A função continua sendo .
Derivando termo por termo:
  • A derivada de em relação a é (porque a derivada de é ).
  • A derivada de em relação a é (pois é constante em relação a ).
Então, .

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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