In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
y'' + 4y = cos(x), y'(0) = 0, y'(\pi) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial: , com as condições de contorno e . O que precisamos aqui é resolver essa equação diferencial de segunda ordem e encontrar a função que satisfaz essas condições. Vamos precisar lembrar de como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso significa que as soluções homogêneas são combinações de funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , que não está na solução homogênea, podemos tentar uma solução da forma:
Agora, vamos derivar duas vezes:
Substituindo e na equação diferencial:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes das funções trigonométricas devem ser iguais em ambos os lados:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Então, .
Agora, aplicamos :
Isso não nos dá informação adicional sobre . Portanto, pode ser qualquer constante real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial, que satisfaz as condições de contorno e , é:
onde é uma constante real qualquer.

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