In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
, com as condições de contorno
e
. O que precisamos aqui é resolver essa equação diferencial de segunda ordem e encontrar a função
que satisfaz essas condições. Vamos precisar lembrar de como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso significa que as soluções homogêneas são combinações de funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa
. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é
, que não está na solução homogênea, podemos tentar uma solução da forma:
Agora, vamos derivar
duas vezes:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes das funções trigonométricas devem ser iguais em ambos os lados:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Então,
.
Agora, aplicamos
:
Isso não nos dá informação adicional sobre
. Portanto,
pode ser qualquer constante real.
Resposta
A solução geral da equação diferencial, que satisfaz as condições de contorno
e
, é:
onde
é uma constante real qualquer.