Determine as derivadas parciais das funções abaixo: f(x, y) = (x^3 - y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda quando x ou y variam individualmente. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
A função é . Aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora, derivamos em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Usando a mesma função e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Então, substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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