Provar que ą função
definida em
por :
é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que a função
, definida no intervalo
, é limitada. Isso significa que existe um número real
tal que para todo
em
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função seno e como o fator
afeta a função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Ou seja,
. Isso é uma propriedade fundamental da função seno que vamos usar aqui.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
. Como
é positivo no intervalo
(porque
), a desigualdade se mantém na mesma direção:
Isso significa que o valor absoluto de
é no máximo
.
Passo 4
Por fim, observamos que
também está limitado no intervalo
. Como
varia entre 0 e 1,
varia entre 0 e 1. Portanto, temos:
Assim, o valor absoluto de
nunca excede 1 no intervalo dado.
Resposta
A função
é limitada no intervalo
, com
.