Provar que ą função f definida em ]0,1] por : f(x) = (1 - x) * sen(pi / x) é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que a função , definida no intervalo , é limitada. Isso significa que existe um número real tal que para todo em , o valor absoluto de é menor ou igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função seno e como o fator afeta a função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, . Isso é uma propriedade fundamental da função seno que vamos usar aqui.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por . Como é positivo no intervalo (porque ), a desigualdade se mantém na mesma direção:
Isso significa que o valor absoluto de é no máximo .

Passo 4

Por fim, observamos que também está limitado no intervalo . Como varia entre 0 e 1, varia entre 0 e 1. Portanto, temos:
Assim, o valor absoluto de nunca excede 1 no intervalo dado.

Resposta

A função é limitada no intervalo , com .

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