Determine as derivadas parciais das funções a seguir:
f(x, y) = 2 x^4 y^3 - x y^2 3 y + 1
g) f(x, y, t) = (x^2 - t^2) / (1 + sen(3y))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação de quocientes e como derivar funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, tratamos e como constantes. A função é um quociente, mas como o denominador não depende de , fica mais simples. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é 0 (já que é constante). Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Aqui, e são constantes. Precisamos usar a regra do quociente para derivadas, já que está no denominador através de .
A derivada de é . Nesse caso, (cujas derivadas em relação a são 0) e . Então:
Portanto:

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Aqui, e são constantes. A função novamente é um quociente, mas o denominador não depende de . A derivada de em relação a é 0, e a derivada de em relação a é . Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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