Determine as derivadas parciais das funções a seguir:
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais das funções dadas. As derivadas parciais são usadas quando queremos saber como uma função multivariável muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação e aplicar cada uma delas conforme a função apresentada.
Passo 2
Parte a)
A função é:
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para isso, tratamos
como constante e derivamos termo a termo em relação a
:
-
derivado em relação a é (usando a regra do poder). -
derivado em relação a é . -
e são constantes em relação a , então suas derivadas são 0.
Então:
Passo 3
Parte a)
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Desta vez, tratamos
como constante e derivamos cada termo em relação a
:
-
derivado em relação a é . -
derivado em relação a é . -
derivado em relação a é . -
é constante, então sua derivada é 0.
Então:
Passo 4
Parte b)
A função é:
Assumindo que há uma pequena confusão nos símbolos e que
e
correspondem a
e
respectivamente, a função fica:
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
.
Utilizamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 5
Ainda na parte b), vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
.
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Resposta
As derivadas parciais das funções são:
a)
b)