Determine as derivadas parciais das funções a seguir:
f(x, y) = 2 x^4 y^3 - x y^2 3 y + 1
b) f(x, y) = raiz(r^2 + s^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais das funções dadas. As derivadas parciais são usadas quando queremos saber como uma função multivariável muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação e aplicar cada uma delas conforme a função apresentada.

Passo 2

Parte a)
A função é:
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Para isso, tratamos como constante e derivamos termo a termo em relação a :
  • derivado em relação a é (usando a regra do poder).
  • derivado em relação a é .
  • e são constantes em relação a , então suas derivadas são 0.
Então:

Passo 3

Parte a)
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Desta vez, tratamos como constante e derivamos cada termo em relação a :
  • derivado em relação a é .
  • derivado em relação a é .
  • derivado em relação a é .
  • é constante, então sua derivada é 0.
Então:

Passo 4

Parte b)
A função é:
Assumindo que há uma pequena confusão nos símbolos e que e correspondem a e respectivamente, a função fica:
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , .
Utilizamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Ainda na parte b), vamos calcular a derivada parcial em relação a , .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais das funções são:
a)
b)

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