Determine as derivadas parciais das funçōes a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
, onde
. Nossa meta é encontrar as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, derivamos
em relação a
e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando
:
Isso vem da derivação termo a termo de
em relação a
.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos simplificar usando uma identidade trigonométrica, mas vamos deixar assim por enquanto.
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Passo 7
Calculando
:
Derivamos cada termo de
em relação a
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
onde
.