Determine as derivadas parciais das funçōes a seguir: f(x, y) = e^(xy) ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente às derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante. A função é o produto de e , então vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Agora, precisamos derivar cada parte.

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia:
E a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da regra do produto:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Nesta vez, tratamos como uma constante. A função também é um produto, mas é considerado constante em relação a .

Passo 7

Derivando em relação a :
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar :

Passo 8

Substituindo na expressão:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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