Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela parábola por
e pela reta
torno:
Da reta
Da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta ao girar a região limitada pela parábola
e a reta
em torno da própria reta
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com o método dos discos ou anéis para volumes de rotação. Vamos precisar identificar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A parábola
e a reta
se cruzam quando
, ou seja, em
e
. Isso significa que nossa área de interesse está entre
e
.
Passo 3
Como estamos girando em torno da reta
, vamos usar o método dos discos (ou anéis). Esse método envolve calcular a área de um anel circular em cada “fatia” da região e depois integrar essas áreas ao longo do intervalo de
.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui,
é o raio externo e
é o raio interno de cada anel.
Passo 5
No nosso caso, ao girar em torno de
:
- O raio externo
é a distância da reta até a linha (pois a parábola vai de até ). Então, . - O raio interno
é a distância da reta até a parábola . Então, .
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, calculamos a integral:
Passo 9
Subtraindo os resultados:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.