Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela parábola por y = x^2 e pela reta y = 1 em torno:
Da reta y = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta ao girar a região limitada pela parábola e a reta em torno da própria reta . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com o método dos discos ou anéis para volumes de rotação. Vamos precisar identificar os limites de integração e aplicar a fórmula correta para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A parábola e a reta se cruzam quando , ou seja, em e . Isso significa que nossa área de interesse está entre e .

Passo 3

Como estamos girando em torno da reta , vamos usar o método dos discos (ou anéis). Esse método envolve calcular a área de um anel circular em cada “fatia” da região e depois integrar essas áreas ao longo do intervalo de .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui, é o raio externo e é o raio interno de cada anel.

Passo 5

No nosso caso, ao girar em torno de :
  • O raio externo é a distância da reta até a linha (pois a parábola vai de até ). Então, .
  • O raio interno é a distância da reta até a parábola . Então, .

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, calculamos a integral:

Passo 9

Subtraindo os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados