Seja F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de F;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o divergente e o rotacional de um campo vetorial . Isso cai no estudo de cálculo vetorial, especificamente nas operações que analisam como um campo vetorial se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quanta “fonte” ou “sumidouro” existe em cada ponto do campo. Basicamente, ele indica como o campo está se expandindo ou contraindo nesse ponto.
Matematicamente, o divergente de F é dado por:
Aqui, representa o divergente, e calcular isso envolve derivadas parciais das componentes de F em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos definir o rotacional (também conhecido como curl). O rotacional nos mostra a tendência de rotação ou circulação do campo vetorial em torno de um ponto. É como se mostrasse se o campo está “girando” em torno de cada ponto.
O rotacional de F é dado por:
Aqui, nabla vezes F é um vetor que descreve a rotação do campo. Cada componente envolve diferenças de derivadas parciais cruzadas das funções componentes de F.

Resposta

O divergente de F é dado por:
E o rotacional de F é:

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