Seja
um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o divergente e o rotacional de um campo vetorial
. Isso cai no estudo de cálculo vetorial, especificamente nas operações que analisam como um campo vetorial se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quanta “fonte” ou “sumidouro” existe em cada ponto do campo. Basicamente, ele indica como o campo está se expandindo ou contraindo nesse ponto.
Matematicamente, o divergente de
é dado por:
Aqui,
representa o divergente, e calcular isso envolve derivadas parciais das componentes de
em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 3
Agora, vamos definir o rotacional (também conhecido como curl). O rotacional nos mostra a tendência de rotação ou circulação do campo vetorial em torno de um ponto. É como se mostrasse se o campo está “girando” em torno de cada ponto.
O rotacional de
é dado por:
Aqui,
é um vetor que descreve a rotação do campo. Cada componente envolve diferenças de derivadas parciais cruzadas das funções componentes de
.
Resposta
O divergente de
é dado por:
E o rotacional de
é:
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Calcule os seguintes limites(Dica: Faça uma aproximação dos números que são para calcular o limite e veja o que ocorre)
Seja
um campo vetorial. Utilize o item (b) para mostrar que não existe
tal que
;
Seja
um campo vetorial. Mostre que se
for um campo conservativo, então
;
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
39.