Seja um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o divergente e o rotacional de um campo vetorial . Isso cai no estudo de cálculo vetorial, especificamente nas operações que analisam como um campo vetorial se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quanta “fonte” ou “sumidouro” existe em cada ponto do campo. Basicamente, ele indica como o campo está se expandindo ou contraindo nesse ponto.
Matematicamente, o divergente de é dado por:
Aqui, representa o divergente, e calcular isso envolve derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos definir o rotacional (também conhecido como curl). O rotacional nos mostra a tendência de rotação ou circulação do campo vetorial em torno de um ponto. É como se mostrasse se o campo está “girando” em torno de cada ponto.
O rotacional de é dado por:
Aqui, é um vetor que descreve a rotação do campo. Cada componente envolve diferenças de derivadas parciais cruzadas das funções componentes de .

Resposta

O divergente de é dado por:
E o rotacional de é:

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites(Dica: Faça uma aproximação dos números que são para calcular o limite e veja o que ocorre)
Seja um campo vetorial. Utilize o item (b) para mostrar que não existe tal que ;
Seja um campo vetorial. Mostre que se for um campo conservativo, então ;
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.