Seja
um campo vetorial. Mostre que se
for um campo conservativo, então
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
. A questão pede para a gente mostrar que, se esse campo for conservativo, então seu rotacional
é igual a zero. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que:
Isso significa que o campo
é derivado de uma função potencial
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional
mede a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. Matematicamente, está dado por:
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
assumindo que
é conservativo, ou seja,
. Substituindo, temos:
Passo 5
Existe um resultado importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que, se
é o gradiente de uma função, então seu rotacional é nulo.
Passo 6
Portanto, concluímos que se
é conservativo, então:
Resposta
Se o campo
for conservativo, então seu rotacional
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de
;
Calcule os seguintes limites(Dica: Faça uma aproximação dos números que são para calcular o limite e veja o que ocorre)
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
39.
Seja
um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que
não é conservativo.