Seja um campo vetorial. Mostre que se for um campo conservativo, então ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial . A questão pede para a gente mostrar que, se esse campo for conservativo, então seu rotacional é igual a zero. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função tal que:
Isso significa que o campo é derivado de uma função potencial .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. Matematicamente, está dado por:

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de assumindo que é conservativo, ou seja, . Substituindo, temos:

Passo 5

Existe um resultado importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que, se é o gradiente de uma função, então seu rotacional é nulo.

Passo 6

Portanto, concluímos que se é conservativo, então:

Resposta

Se o campo for conservativo, então seu rotacional é igual a zero.

Exercícios relacionados

Seja um campo vetorial. Defina o divergente e o rotacional de ;
Calcule os seguintes limites(Dica: Faça uma aproximação dos números que são para calcular o limite e veja o que ocorre)
Determine as derivadas parciais indicadas.
39.
Seja um campo vetorial. Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.