Seja F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial. Mostre que se F for um campo conservativo, então Rot(F) = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial . A questão pede para a gente mostrar que, se esse campo for conservativo, então seu rotacional Rot(F) é igual a zero. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função f(x, y, z) tal que:
Isso significa que o campo F é derivado de uma função potencial f.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional Rot(F) mede a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. Matematicamente, está dado por:

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F assumindo que F é conservativo, ou seja, . Substituindo, temos:

Passo 5

Existe um resultado importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor zero. Ou seja:
Isso significa que, se F é o gradiente de uma função, então seu rotacional é nulo.

Passo 6

Portanto, concluímos que se F é conservativo, então:

Resposta

Se o campo F for conservativo, então seu rotacional Rot(F) é igual a zero.

Exercícios relacionados