Determine as derivadas parciais indicadas.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada parcial terceira de
, especificamente
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas, que são usadas para entender como uma função muda quando mais de uma variável muda ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais derivadas precisamos calcular. A expressão
significa que vamos derivar
duas vezes em relação a
e uma vez em relação a
.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
. A função é
. A derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da cadeia. Como
é tratado como uma constante ao derivar em relação a
, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar essa primeira derivada novamente em relação a
:
Isso envolve a derivada do produto de
e
. Usando a regra do produto:
Passo 5
Vamos derivar essa expressão mais uma vez em relação a
:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial terceira é: