Determine as derivadas parciais indicadas.
c) u=e^r theta ; partial^3 upartial r^2 partial theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada parcial terceira de , especificamente . Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas, que são usadas para entender como uma função muda quando mais de uma variável muda ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais derivadas precisamos calcular. A expressão significa que vamos derivar duas vezes em relação a e uma vez em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando partial upartial theta = r e^r theta em relação a . A função é . A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia. Como é tratado como uma constante ao derivar em relação a , a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar essa primeira derivada novamente em relação a partialpartial r ( partial upartial theta ) = partialpartial r ( r e^r theta ) :
partialpartial r ( r e^r theta ) = e^r theta + r theta e^r theta
Isso envolve a derivada do produto de e . Usando a regra do produto:

Passo 5

Vamos derivar essa expressão mais uma vez em relação a partialpartial r ( e^r theta + r theta e^r theta ) = theta e^r theta + theta e^r theta + r theta^2 e^r theta :
= 2 theta e^r theta + r theta^2 e^r theta
Simplificando:

Resposta

A derivada parcial terceira é:
partial^3 upartial r^2 partial theta = theta e^r theta (2 + r theta)

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