Determine as derivadas parciais indicadas.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada parcial terceira de , especificamente . Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas, que são usadas para entender como uma função muda quando mais de uma variável muda ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais derivadas precisamos calcular. A expressão significa que vamos derivar duas vezes em relação a e uma vez em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . A função é . A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia. Como é tratado como uma constante ao derivar em relação a , a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar essa primeira derivada novamente em relação a :
Isso envolve a derivada do produto de e . Usando a regra do produto:

Passo 5

Vamos derivar essa expressão mais uma vez em relação a :
Simplificando:

Resposta

A derivada parcial terceira é:

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Use derivação implícita para determinar
b)
Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .
Determine o valor da constante para quec se tenha
Determine para que
em que