Determine m para que
integral-infty^infty f(x) d x=1
em que
f(x)=rrr m x^2, & se & |x| <= 1 0, & se & |x|>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de f(x)=rrr m x^2, & se & |x| <= 1 0, & se & |x|>1 tal que a integral de de até seja igual a 1. Aqui, é uma função definida por partes:
Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a integral de de até representa a área sob a curva dessa função ao longo de todo o eixo . A condição significa que essa área deve ser igual a 1.

Passo 3

Observamos que integral-1^1 m x^2 dx = 1 é diferente de zero apenas quando . Isso simplifica nossa integral, já que fora desse intervalo a função vale zero. Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de integral-1^1 x^2 dx = 2 integral0^1 x^2 dx de a . Vamos lembrar que é uma função par, o que significa que ela é simétrica em relação ao eixo . Por causa disso, podemos simplificar o cálculo:

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral0^1 x^2 dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 de a :

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2 times 13 = 23 por causa da simetria:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação original:
m times 23 = 1
Resolvendo para m = 1 times 32 = 32 :

Resposta

O valor de é .

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