Determine o valor da constante a para quec se tenha
integral-infty^infty e^a|x| d x=1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o valor da constante para que a integral de de até seja igual a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente de integrais impróprias e funções exponenciais. Vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto na função e como resolver integrais que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. A função integral-infty^infty e^a|x| dx = 2 integral0^infty e^a x dx é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, é igual para positivo e negativo. Por isso, podemos reescrever a integral de a como duas vezes a integral de 0 a :

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral0^infty e^a x dx = [ e^a xa ]0^infty . A antiderivada de [ e^a xa ]0^infty = 0 - 1a = -1a é . Então, avaliamos de 0 a :
Para que essa integral converja, o expoente precisa ser negativo. Se , quando tende para , tende a 0. Então, temos:

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, temos:
2 integral0^infty e^a x dx = 2 ( -1a ) = -2a
Queremos que isso seja igual a 1:
-2a = 1
Resolvendo para a = -2 :

Resposta

O valor da constante é .

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