Determine o valor da constante
para quec se tenha
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o valor da constante
para que a integral de
de
até
seja igual a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente de integrais impróprias e funções exponenciais. Vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto na função e como resolver integrais que vão até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral. A função
é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
é igual para
positivo e negativo. Por isso, podemos reescrever a integral de
a
como duas vezes a integral de 0 a
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
. Então, avaliamos de 0 a
:
Para que essa integral converja, o expoente
precisa ser negativo. Se
, quando
tende para
,
tende a 0. Então, temos:
Passo 4
Voltando à nossa expressão original, temos:
Queremos que isso seja igual a 1:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor da constante
é
.