Determine as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e logaritmos naturais. Precisaremos conhecer as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Queremos encontrar as derivadas parciais e . Suponho que “u” seja uma variável diferente, mas como a função está em termos de , vou considerar que “u” pode ter sido um erro de digitação e que na verdade queremos encontrar derivadas com respeito a . Assim, interpretarei as derivadas como e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, aplicamos a regra do produto:
A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar o logaritmo.
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
A derivada de em relação a é:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial , ou seja, derivar em relação a :
Observamos que não depende de . Assim, a derivada de em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Calcule as derivadas das funções. Observações:
Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule as derivadas das funções. Observações:
Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.

Calcule as derivadas das funções. Observações:
Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.