Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,6) y^4x^4+3 y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para encontrar o limite da função y^4x^4+3 y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,6). A gente vai usar conceitos de limites em várias variáveis e análise de caminhos para ver se o limite existe e, se sim, qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite em várias variáveis. Quando falamos que (x, y) (0,6), queremos ver o comportamento da função conforme x se aproxima de 0 e y se aproxima de 6 ao mesmo tempo.

Passo 3

Para calcular o limite, vamos tentar substituir diretamente os valores de x e y na função:
lim (x, y) (0,6) y^4x^4+3 y^4 = 6^40^4+3 cdot 6^4

Passo 4

Vamos calcular os valores:
6^4 = 1296 3 cdot 6^4 = 3 cdot 1296 = 3888 0^4 = 0
Substituindo:
12960 + 3888 = 12963888

Passo 5

Simplificando a fração:
12963888 = 1296 div 12963888 div 1296 = 13

Passo 6

Para confirmar que o limite é realmente esse, podemos verificar por diferentes caminhos de aproximação. Por exemplo:
  • Caminho 1: Mantendo x = 0, então:
y^40 + 3 y^4 = y^43 y^4 = 13
  • Caminho 2: Mantendo y = 6, então:
6^4x^4 + 3 cdot 6^4 = 1296x^4 + 3888 12963888 = 13
Em ambos os casos, o limite é 13, o que indica que o limite é o mesmo independentemente do caminho escolhido.

Resposta

O limite existe e é igual a 13.

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