Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = y ln x, (1, 4, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto específico . Isso está relacionado ao cálculo multivariável, mais especificamente ao uso de derivadas parciais para determinar planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dada: . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente nesse ponto. A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Para :
Para :

Passo 5

Com essas derivadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2. Sabemos que , , e .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é .

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