Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto específico
. Isso está relacionado ao cálculo multivariável, mais especificamente ao uso de derivadas parciais para determinar planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dada:
. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente nesse ponto. A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com essas derivadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2. Sabemos que
,
, e
.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é
.