Determine as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de derivadas parciais, que faz parte do cálculo multivariável. A função dada é . A gente precisa encontrar duas derivadas específicas: e . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, ou seja, derivadas de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a (denotada por ) é a taxa de variação de conforme muda, mantendo constante. Similarmente, a derivada parcial em relação a (denotada por ) mostra como varia com , mantendo constante.

Passo 3

Vamos começar calculando . Como não está claro o que representa, vamos assumir que é uma segunda derivada parcial, ou seja, . Isso significa que vamos derivar em relação a novamente.
Primeiro, encontramos :
Derivando em relação a :
Agora, derivamos em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a terceira derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos derivar três vezes com respeito a , mantendo constante a cada derivada.
Primeiro, encontramos :
Derivando em relação a :
Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Por fim, derivamos em relação a para encontrar :

Resposta

As derivadas parciais indicadas são:

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Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda .
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Determine as derivadas parciais indicadas.
Verifique que a função é uma solução das equaçōes diferenciais
e