Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de derivadas parciais, que faz parte do cálculo multivariável. A função dada é
. A gente precisa encontrar duas derivadas específicas:
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, ou seja, derivadas de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
(denotada por
) é a taxa de variação de
conforme
muda, mantendo
constante. Similarmente, a derivada parcial em relação a
(denotada por
) mostra como
varia com
, mantendo
constante.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Como não está claro o que
representa, vamos assumir que é uma segunda derivada parcial, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
novamente.
Primeiro, encontramos
:
Derivando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a terceira derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar
três vezes com respeito a
, mantendo
constante a cada derivada.
Primeiro, encontramos
:
Derivando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Por fim, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Resposta
As derivadas parciais indicadas são:
Exercícios relacionados
Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda
.
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Determine as derivadas parciais indicadas.
Verifique que a função
é uma solução das equaçōes diferenciais
e