Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para mostrar que a função
é uma solução da equação da onda
. Isso envolve calcular as derivadas de segunda ordem de
em relação ao tempo
e ao espaço
, e verificar se elas satisfazem a equação da onda. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada de
em relação ao espaço
. A equação da onda relaciona essas duas derivadas multiplicadas por
.
Passo 3
Vamos calcular
. Começamos derivando
em relação a
:
Para
, a derivada em relação a
é
.
Para
, a derivada em relação a
é
.
Então,
Agora, derivamos novamente em relação a
para obter
:
A derivada de
é
.
Para
, usamos a regra da cadeia:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Começamos derivando
em relação a
:
Para
, a derivada em relação a
é
.
Para
, a derivada em relação a
é
.
Então,
Agora, derivamos novamente em relação a
para obter
:
A derivada de
é
.
Para
, a derivada em relação a
é
.
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
por
:
Passo 6
Agora, comparamos
e
:
Observamos que:
Mas para a equação da onda, queremos
. Isso só acontece se
for igual a
. Contudo, aqui vemos que
, o que não é igual a
.
Resposta
Parece que houve um erro nos cálculos iniciais. Na verdade, a função
não satisfaz a equação da onda
conforme os cálculos mostram. Portanto, a função apresentada não é uma solução da equação da onda.
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Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.
Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.
Determine as derivadas parciais indicadas.
Determine as derivadas parciais indicadas.