Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para mostrar que a função é uma solução da equação da onda . Isso envolve calcular as derivadas de segunda ordem de em relação ao tempo e ao espaço , e verificar se elas satisfazem a equação da onda. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada de em relação ao espaço . A equação da onda relaciona essas duas derivadas multiplicadas por .

Passo 3

Vamos calcular . Começamos derivando em relação a :
Para , a derivada em relação a é .
Para , a derivada em relação a é .
Então,
Agora, derivamos novamente em relação a para obter :
A derivada de é .
Para , usamos a regra da cadeia:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular . Começamos derivando em relação a :
Para , a derivada em relação a é .
Para , a derivada em relação a é .
Então,
Agora, derivamos novamente em relação a para obter :
A derivada de é .
Para , a derivada em relação a é .
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos multiplicar por :

Passo 6

Agora, comparamos e :
Observamos que:
Mas para a equação da onda, queremos . Isso só acontece se for igual a . Contudo, aqui vemos que , o que não é igual a .

Resposta

Parece que houve um erro nos cálculos iniciais. Na verdade, a função não satisfaz a equação da onda conforme os cálculos mostram. Portanto, a função apresentada não é uma solução da equação da onda.

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Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.

Determine as derivadas parciais indicadas.
Determine as derivadas parciais indicadas.