Inverta a ordem de integração e calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração na integral dupla dada e depois calcular o valor dela. Isso envolve entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de cálculo de integrais. Vamos precisar usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração e técnicas de integração, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral é:
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Se desenharmos isso no plano , teremos uma região triangular onde e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de primeiro integrar em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos redefinir os limites:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos agora calcular a integral interna, que é em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tratar como uma constante:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. A antiderivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral de :
Fazemos uma substituição , então ou . Assim:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Agora, a integral de :

Passo 8

Finalmente, juntamos os dois resultados:

Resposta

O valor da integral é .

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Obs 1: resposta ao lado obs 2: Entregar somente as ímpares.

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