Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração na integral dupla dada e depois calcular o valor dela. Isso envolve entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de cálculo de integrais. Vamos precisar usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração e técnicas de integração, como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral é:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até 1. Se desenharmos isso no plano
, teremos uma região triangular onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de primeiro integrar em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos redefinir os limites:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 até .
Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos agora calcular a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tratar
como uma constante:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. A antiderivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 6
Primeiro, a integral de
:
Fazemos uma substituição
, então
ou
. Assim:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 7
Agora, a integral de
:
Passo 8
Finalmente, juntamos os dois resultados:
Resposta
O valor da integral é
.
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.
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