Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração na integral dupla dada e depois calcular o valor dela. Isso envolve entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de cálculo de integrais. Vamos precisar usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração e técnicas de integração, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral é:
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y , dx , dy
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Se desenharmos isso no plano , teremos uma região triangular onde e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de primeiro integrar em integral0^1 integral0^x x^2 e^x y , dy , dx e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos redefinir os limites:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos agora calcular a integral interna, que é em relação a integral0^x x^2 e^x y , dy :
x^2 integral0^x e^x y , dy
Como x^2 [ 1x e^x y ]0^x = x^2 ( 1x e^x cdot x - 1x e^0 ) = x^2 ( e^x^2 - 1x ) = x (e^x^2 - 1) é constante em relação a , podemos tratar como uma constante:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. A antiderivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x (e^x^2 - 1) , dx = integral0^1 x e^x^2 , dx - integral0^1 x , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral de integral x e^x^2 , dx :
12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C
Fazemos uma substituição 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1) , então ou . Assim:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Agora, a integral de integral0^1 x , dx = [ 12 x^2 ]0^1 = 12 (1^2 - 0^2) = 12 :

Passo 8

Finalmente, juntamos os dois resultados:
12 (e - 1) - 12 = e - 1 - 12 = e - 22

Resposta

O valor da integral é .

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