Use o Teorema da Estimativa do Resto para encontrar um intervalo contendo , no qual a função possa ser aproximada por com precisão de três casas decimais.
Represente em um mesmo plano cartesiano a função, e sobre o intervalo obtido.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema da Estimativa do Resto para achar um intervalo em torno de onde a função pode ser aproximada por com uma precisão de três casas decimais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como calcular o resto dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema da Estimativa do Resto nos ajuda a saber o quão boa é a nossa aproximação polinomial. Ele nos dá uma forma de calcular um limite para o erro entre a função real e o polinômio de aproximação. No caso, nosso polinômio é uma aproximação de terceiro grau de .
Passo 3
O próximo passo é encontrar a expressão para o termo de resto, que no caso da série de Taylor é dado por:
Onde está entre 0 e , e é o grau do polinômio. Como nosso polinômio é de grau 3, , então:
Passo 4
Vamos calcular a quarta derivada de :
Passo 5
Substituindo na expressão do resto:
Como está entre 0 e , para garantir a maior estimativa do resto, vamos considerar no extremo que maximiza . Isso ocorre quando é mínimo, ou seja, :
Passo 6
Queremos que esse erro seja menor que (já que queremos precisão de três casas decimais):
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 7
Agora, vamos resolver para :
Então, o intervalo em torno de zero onde a aproximação é válida com a precisão desejada é aproximadamente .
Resposta
O intervalo onde pode ser aproxime por com precisão de três casas decimais é aproximadamente . Além disso, ao representar no mesmo plano cartesiano, você verá as curvas de e dentro desse intervalo, mostrando a boa aproximação da função real pelo polinômio.