Use o Teorema da Estimativa do Resto para encontrar um intervalo contendo x = 0, no qual a função f(x) = ln(1+x) possa ser aproximada por p(x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 com precisão de três casas decimais.
Represente em um mesmo plano cartesiano a função, p(x) e |f(x)-p(x)| sobre o intervalo obtido.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema da Estimativa do Resto para achar um intervalo em torno de onde a função pode ser aproximada por com uma precisão de três casas decimais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como calcular o resto dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema da Estimativa do Resto nos ajuda a saber o quão boa é a nossa aproximação polinomial. Ele nos dá uma forma de calcular um limite para o erro entre a função real e o polinômio de aproximação. No caso, nosso polinômio é uma aproximação de terceiro grau de .

Passo 3

O próximo passo é encontrar a expressão para o termo de resto, que no caso da série de Taylor é dado por:
Onde está entre 0 e , e é o grau do polinômio. Como nosso polinômio é de grau 3, , então:

Passo 4

Vamos calcular a quarta derivada de :

Passo 5

Substituindo na expressão do resto:
Como está entre 0 e , para garantir a maior estimativa do resto, vamos considerar no extremo que maximiza . Isso ocorre quando é mínimo, ou seja, :

Passo 6

Queremos que esse erro seja menor que (já que queremos precisão de três casas decimais):
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Então, o intervalo em torno de zero onde a aproximação é válida com a precisão desejada é aproximadamente .

Resposta

O intervalo onde pode ser aproxime por com precisão de três casas decimais é aproximadamente . Além disso, ao representar no mesmo plano cartesiano, você verá as curvas de e dentro desse intervalo, mostrando a boa aproximação da função real pelo polinômio.

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