Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar três derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é um produto de
e
, então usamos a regra do produto:
Agora, derivamos
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente, ou seja,
. A gente já tem
.
Derivando termo a termo:
-
(usando a regra da cadeia). -
(usando a regra do produto e da cadeia).
Então, somando os dois resultados:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista
. Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial mista
. Segundo o teorema das derivadas parciais mistas, se as derivadas forem contínuas, a ordem não importa, ou seja,
. Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(b)
Determine as derivadas parciais indicadas.
Determine as derivadas parciais indicadas.
Calcular as derivadas parciais de
e
.