Determine as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar três derivadas parciais de segunda ordem: , e . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um produto de e , então usamos a regra do produto:
Agora, derivamos em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a novamente, ou seja, . A gente já tem .
Derivando termo a termo:
  1. (usando a regra da cadeia).
  2. (usando a regra do produto e da cadeia).
Então, somando os dois resultados:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista . Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos isso em relação a :

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial mista . Segundo o teorema das derivadas parciais mistas, se as derivadas forem contínuas, a ordem não importa, ou seja, . Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:

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Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(b)
Determine as derivadas parciais indicadas.
Determine as derivadas parciais indicadas.
Calcular as derivadas parciais de e .