Determine as derivadas parciais indicadas.
z=x cos x y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 fpartial x partial y, partial^2 fpartial y partial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar três derivadas parciais de segunda ordem: , e . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial x = cos(xy) + x cdot partialpartial x[cos(xy)] em relação a partialpartial x[cos(xy)] = -sin(xy) cdot y , ou seja, partial zpartial x = cos(xy) - xy sin(xy) . A função é um produto de e , então usamos a regra do produto:
Agora, derivamos em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = -y sin(xy) - y sin(xy) - xy^2 cos(xy) = -2y sin(xy) - xy^2 cos(xy) em relação a novamente, ou seja, . A gente já tem .
Derivando termo a termo:
  1. (usando a regra da cadeia).
  2. (usando a regra do produto e da cadeia).
Então, somando os dois resultados:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista partial zpartial y = x cdot partialpartial y[cos(xy)] = -x^2 sin(xy) . Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial em relação a partial^2 zpartial x partial y = partialpartial x[-x^2 sin(xy)] = -2x sin(xy) - x^3 cos(xy) :
Agora, derivamos isso em relação a :

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial mista partial^2 zpartial y partial x = -2x sin(xy) - x^3 cos(xy) . Segundo o teorema das derivadas parciais mistas, se as derivadas forem contínuas, a ordem não importa, ou seja, . Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
partial^2 zpartial x^2 = -2y sin(xy) - xy^2 cos(xy)
partial^2 zpartial x partial y = partial^2 zpartial y partial x = -2x sin(xy) - x^3 cos(xy)

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