Determine as derivadas parciais indicadas:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada parcial
da função
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do produto passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. Aplicamos a regra da cadeia:
Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos
. Aqui, vamos usar a regra do produto, já que temos o produto de
e
:
Aplicando a regra da cadeia na segunda parte:
Então:
Passo 4
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Temos
. Vamos usar novamente a regra do produto:
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Então, juntando tudo:
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada parcial indicada é:
Exercícios relacionados
A temperatura em um ponto
de uma placa plana de metal é dada por
, onde
é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (a) a direção do eixo
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f)
f)
Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que:
Calcule a partir da definição as seguintes integrais: