A temperatura em um ponto de uma placa plana de metal é dada por , onde é medido em e em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (a) a direção do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura em um ponto de uma placa de metal, dada pela função . A gente precisa encontrar como a temperatura está mudando com relação à distância no ponto , especificamente na direção do eixo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que mostra a taxa de variação de uma função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é calculada usando o gradiente da função e o vetor direção. O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto (2,1) é:
Passo 5
A direção do eixo x é representada pelo vetor unitário . Para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Resposta
A taxa de variação da temperatura na direção do eixo x no ponto (2,1) é °C por metro.