A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa plana de metal é dada por T(x, y) = 60 / (1 + x^2 + y^2), onde T é medido em ° C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (a) a direção do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal, dada pela função . A gente precisa encontrar como a temperatura está mudando com relação à distância no ponto (2,1), especificamente na direção do eixo x. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que mostra a taxa de variação de uma função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é calculada usando o gradiente da função e o vetor direção. O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T em relação a x e y.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (2,1). Substituindo x = 2 e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto (2,1) é:

Passo 5

A direção do eixo x é representada pelo vetor unitário . Para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor direção:

Resposta

A taxa de variação da temperatura na direção do eixo x no ponto (2,1) é °C por metro.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f) g(x, y) = tg(y/x)
Calcular o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0) :
f(x, y) = { (x - y + 2 raiz(x) - 2 raiz(y)) / (raiz(x) - raiz(y)), (x, y) ≠ (0, 0) ; a - 4, (x, y) = (0, 0) }
Determine as derivadas parciais indicadas:
a) f(x, y, z) = e^(x y z) ; f_yz_x
Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que: sumk=1^n k^3=n^44+n^32+n^24