A temperatura em uma placa de metal é dada por
,
,
em centímetros e a temperatura
em
. Qual a direção de major crescimento da temperatura a partir do ponto
? Determine a taxa de crescimento.
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente tem uma placa de metal onde a temperatura em cada ponto
é dada pela função
. Nosso objetivo é descobrir qual é a direção em que a temperatura cresce mais a partir do ponto
e também qual é a taxa desse crescimento. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá a direção de maior crescimento e a taxa de crescimento nesse sentido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Esse vetor
nos dá a direção de maior aumento da temperatura nesse ponto.
Passo 4
Para encontrar a direção unitária (ou seja, a direção com comprimento 1), vamos normalizar o vetor gradiente que encontramos. Isso significa dividir cada componente do vetor pela sua magnitude. A magnitude do vetor
é:
Então, a direção unitária é:
Passo 5
A taxa de crescimento da temperatura na direção de maior aumento é igual à magnitude do gradiente no ponto considerado. Já calculamos essa magnitude:
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto
é na direção do vetor
, e a taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto
:
Determine as derivadas parciais indicadas:
, para
, com
e