A temperatura em uma placa de metal é dada por , , em centímetros e a temperatura em . Qual a direção de major crescimento da temperatura a partir do ponto ? Determine a taxa de crescimento.

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente tem uma placa de metal onde a temperatura em cada ponto é dada pela função . Nosso objetivo é descobrir qual é a direção em que a temperatura cresce mais a partir do ponto e também qual é a taxa desse crescimento. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá a direção de maior crescimento e a taxa de crescimento nesse sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico . Substituindo e na expressão do gradiente:
Esse vetor nos dá a direção de maior aumento da temperatura nesse ponto.

Passo 4

Para encontrar a direção unitária (ou seja, a direção com comprimento 1), vamos normalizar o vetor gradiente que encontramos. Isso significa dividir cada componente do vetor pela sua magnitude. A magnitude do vetor é:
Então, a direção unitária é:

Passo 5

A taxa de crescimento da temperatura na direção de maior aumento é igual à magnitude do gradiente no ponto considerado. Já calculamos essa magnitude:

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto é na direção do vetor , e a taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto . Justifique.
.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto :
Determine as derivadas parciais indicadas:
, para , com e