Determine
, para
definida implicitamnte por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. A função
está definida de forma implícita pela equação
. Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando
varia, mantendo
constante. Como
está definida por uma equação que envolve
,
e
, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Vamos diferenciar a equação
em relação a
:
Simplificando cada termo:
Aqui,
aparece porque
depende de
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
De maneira similar, vamos encontrar
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas:
, para
e
Seja
.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano
, no ponto
.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.