Determine partial zpartial x e partial zpartial y, para z=f(x, y) definida implicitamnte por:
x^2+2 y^2+3 z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A função está definida de forma implícita pela equação . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de em relação a é a taxa de variação de quando varia, mantendo constante. Como está definida por uma equação que envolve , e , precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos diferenciar a equação ddx(x^2) + ddx(2 y^2) + ddx(3 z^2) = ddx(1) em relação a 2x + 0 + 6z partial zpartial x = 0 :
Simplificando cada termo:
Aqui, aparece porque depende de .

Passo 4

Agora, vamos isolar 6z partial zpartial x = -2x :
partial zpartial x = -2x6z = -x3z

Passo 5

De maneira similar, vamos encontrar ddy(x^2) + ddy(2 y^2) + ddy(3 z^2) = ddy(1) . Diferenciando a equação original em relação a 0 + 4y + 6z partial zpartial y = 0 :
Simplificando cada termo:

Passo 6

Isolando 6z partial zpartial y = -4y :
partial zpartial y = -4y6z = -2y3z

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -x3z e partial zpartial y = -2y3z

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