Determine , para definida implicitamnte por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A função está definida de forma implícita pela equação . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de em relação a é a taxa de variação de quando varia, mantendo constante. Como está definida por uma equação que envolve , e , precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos diferenciar a equação em relação a :
Simplificando cada termo:
Aqui, aparece porque depende de .

Passo 4

Agora, vamos isolar :

Passo 5

De maneira similar, vamos encontrar . Diferenciando a equação original em relação a :
Simplificando cada termo:

Passo 6

Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais indicadas:
, para e
Seja .
Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano , no ponto .
Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
e
Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre.