Determine as derivadas parciais indicadas: R(s, t)=t e^s t, partial Rpartial t(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de em relação a , e depois avaliar essa derivada no ponto . Isso está dentro do conteúdo de derivadas parciais no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que envolvem produtos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É a derivada de uma função que tem mais de uma variável, em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. Aqui, vamos derivar em relação a , então tratamos como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:
  • , então
  • , então (usando a regra da cadeia)

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
partial Rpartial t = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot e^s t + t cdot s e^s t = e^s t(1 + s t)

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto partial Rpartial t(0, 1) = e^0 cdot 1(1 + 0 cdot 1) = e^0 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1 :

Resposta

partial Rpartial t(0, 1) = 1

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