Sendo
o arco da circunferência de equação
, contido no primeiro quadrante e percorrido do ponto
ao ponto
, então
vale
a) 0 .
b)
.
c)
.
d)
.
e) 1 .
a) 0 .
b)
c)
d)
e) 1 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular uma integral de linha, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho. O caminho
é um arco de circunferência definido pela equação
, que fica no primeiro quadrante do plano cartesiano, indo do ponto
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial envolvida na integral. A integral é da forma:
Podemos escrever isso como
, onde:
Passo 3
Agora, vamos checar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma condição necessária para isso é que
.
Calculando as derivadas:
Como são iguais, o campo é conservativo.
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho. Ou seja:
Então, precisamos encontrar a função potencial
.
Passo 5
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar zero.
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Agora aplicamos a diferença da função potencial nos pontos final e inicial.
Ponto inicial:
Ponto final:
Passo 7
Calculamos a diferença:
Resposta
A integral vale d)
.
Exercícios relacionados
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Se
, então
vale
a) .
b) .
c) .
d) .
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge:
Determine as derivadas parciais indicadas: