Sendo C o arco da circunferência de equação x^2+y^2=3, contido no primeiro quadrante e percorrido do ponto (0, raiz3) ao ponto (raiz3, 0), então
integralC(3 x^2+6 x y-2 y^2) d x+(3 x^2-4 x y) d y
vale
a) 0 .
b) raiz5.
c) 2 raiz2.
d) 3 raiz3.
e) 1 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular uma integral de linha, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho. O caminho é um arco de circunferência definido pela equação , que fica no primeiro quadrante do plano cartesiano, indo do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial envolvida na integral. A integral é da forma:
integralC(3 x^2+6 x y-2 y^2) dx + (3 x^2-4 x y) dy
Podemos escrever isso como P = 3x^2 + 6xy - 2y^2 , onde:
Q = 3x^2 - 4xy

Passo 3

Agora, vamos checar se o campo vetorial partial Ppartial y = 6x - 4y é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial partial Qpartial x = 6x - 4y tal que . Uma condição necessária para isso é que .
Calculando as derivadas:
Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Como integralC F cdot dr = phi(final) - phi(inicial) é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho. Ou seja:
Então, precisamos encontrar a função potencial .

Passo 5

Para encontrar phi(x, y) = integral (3x^2 + 6xy - 2y^2) dx = x^3 + 3x^2y - 2y^2x + g(y) , integramos partial phipartial y = 3x^2 - 4xy + g'(y) = 3x^2 - 4xy em relação a phi(x, y) = x^3 + 3x^2y - 2y^2x :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar zero.
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Agora aplicamos a diferença da função potencial nos pontos final e inicial.
Ponto inicial: phi(0, raiz3) = 0^3 + 3 cdot 0^2 cdot raiz3 - 2 cdot (raiz3)^2 cdot 0 = 0
phi(raiz3, 0) = (raiz3)^3 + 3 cdot (raiz3)^2 cdot 0 - 2 cdot 0^2 cdot raiz3 = 3raiz3
Ponto final:

Passo 7

Calculamos a diferença:
phi(raiz3, 0) - phi(0, raiz3) = 3raiz3 - 0 = 3raiz3

Resposta

A integral vale d) .

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integral triplaD z raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z
vale
a) 4 pi / 5.
b) 3 pi / 5.
c) 7 pi / 5.
d) 6 pi / 5.
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