Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge:
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Comparação pelo Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Esse teste é útil quando queremos comparar nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o comportamento geral dos termos da nossa série quando
fica muito grande (tende ao infinito). Olhando para
, percebemos que no numerador,
cresce como
, e no denominador,
cresce como
.
Então, para simplificar, podemos aproximar a expressão para
grande:
Passo 3
Agora, escolhemos uma série com a qual vamos comparar. A expressão simplificada
sugere que podemos comparar com a série
.
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Comparação pelo Limite. Calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Simplificando:
Passo 5
Como o limite
é um número finito positivo, e a série de comparação
converge, podemos concluir pelo Teste da Comparação pelo Limite que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Sendo
o arco da circunferência de equação
, contido no primeiro quadrante e percorrido do ponto
ao ponto
, então
vale
a) 0 .
b) .
c) .
d) .
e) 1 .
a) 0 .
b)
c)
d)
e) 1 .
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Determine as derivadas parciais indicadas:
Use o Teste da Razão para testar as séries: