Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge: sumn=1^infty raizn+22 n^2+n+1

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Comparação pelo Limite para descobrir se a série converge ou diverge. Esse teste é útil quando queremos comparar nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento geral dos termos da nossa série quando raizn+22 n^2+n+1 approx raizn2n^2 = 12n^3/2 fica muito grande (tende ao infinito). Olhando para , percebemos que no numerador, cresce como , e no denominador, cresce como .
Então, para simplificar, podemos aproximar a expressão para grande:

Passo 3

Agora, escolhemos uma série com a qual vamos comparar. A expressão simplificada sugere que podemos comparar com a série .
Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Comparação pelo Limite. Calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando L = limn to infty raizn+22n^2+n+11n^3/2 = limn to infty raizn+2 cdot n^3/22n^2+n+1 tende ao infinito:
L = limn to infty n^1/2 cdot n^3/22n^2 = limn to infty n^22n^2 = 12
Simplificando:

Passo 5

Como o limite é um número finito positivo, e a série de comparação converge, podemos concluir pelo Teste da Comparação pelo Limite que a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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