Determine as derivadas parciais indicadas.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada parcial da função . Isso envolve calcular derivadas em relação às variáveis e em uma ordem específica. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e trigonométricas, além das propriedades das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos:
Para derivar com relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então:
Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos:
Vamos derivar cada termo com relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Aqui precisamos usar a regra do produto novamente, pois temos multiplicando .
Calculando cada parte:
Então:
  1. Derivada de em relação a :
Agora, somando as derivadas dos dois termos:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a novamente, ou seja, .
Temos:
Vamos derivar cada termo com relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra do produto:
  1. Derivada de em relação a :
Agora, somando todas as derivadas:
Simplificando:

Resposta

A derivada parcial é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites no infinito.
(a)
Para cada função calcule o valor dos limites indicados, se existirem.
(b) e
Encontre os valores de máximo e mínimo global de no intervalo dado.
Seja . Mostre que não existe valor em tal que . Por que isso não contradiz o teorema do Valor Médio?