Determine as derivadas parciais indicadas.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada parcial
da função
. Isso envolve calcular derivadas em relação às variáveis
e
em uma ordem específica. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e trigonométricas, além das propriedades das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Para derivar com relação a
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então:
Agora, vamos calcular cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Vamos derivar cada termo com relação a
:
- Derivada de
em relação a :
Aqui precisamos usar a regra do produto novamente, pois temos
multiplicando
.
Calculando cada parte:
Então:
- Derivada de
em relação a :
Agora, somando as derivadas dos dois termos:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
novamente, ou seja,
.
Temos:
Vamos derivar cada termo com relação a
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Usamos a regra do produto:
- Derivada de
em relação a :
Agora, somando todas as derivadas:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites no infinito.
(a)
(a)
Para cada função
calcule o valor dos limites indicados, se existirem.
(b) e
(b) e
Encontre os valores de máximo e mínimo global de
no intervalo dado.
Seja
. Mostre que não existe valor
em
tal que
. Por que isso não contradiz o teorema do Valor Médio?