Encontre os valores de máximo e mínimo global de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
no intervalo de
que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para achar os extremos (máximos e mínimos) de uma função em um intervalo fechado, precisamos verificar:
- Os valores da função nos extremidades do intervalo.
- Os valores da função nos pontos críticos dentro do intervalo, ou seja, onde a derivada da função é zero ou não existe.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar esses pontos críticos.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo
:
Sabemos que
quando
no intervalo dado.
Passo 5
Então, temos um ponto crítico em
. Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto e também nas extremidades do intervalo.
- Em
:
- Em
:
Sabemos que
, então:
- Em
:
Passo 6
Agora, comparando os valores obtidos:
Podemos ver que o maior valor é
e os menores valores são
.
Resposta
No intervalo
, a função
tem:
- Máximo global em
com valor . - Mínimo global nos pontos
e com valor .
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas.
(e) .
(e)
Calcule os limites no infinito.
(a)
(a)
Seja
. Mostre que não existe valor
em
tal que
. Por que isso não contradiz o teorema do Valor Médio?
Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo ©