Encontre os valores de máximo e mínimo global de f no intervalo dado.
f(t) = 2 cos(t) + 2 sen(t), [0, pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função no intervalo de que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para achar os extremos (máximos e mínimos) de uma função em um intervalo fechado, precisamos verificar:
  1. Os valores da função nos extremidades do intervalo.
  2. Os valores da função nos pontos críticos dentro do intervalo, ou seja, onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar esses pontos críticos.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo :
Sabemos que quando no intervalo dado.

Passo 5

Então, temos um ponto crítico em . Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto e também nas extremidades do intervalo.
  1. Em :
  1. Em :
Sabemos que , então:
  1. Em :

Passo 6

Agora, comparando os valores obtidos:
Podemos ver que o maior valor é e os menores valores são .

Resposta

No intervalo , a função tem:
  • Máximo global em com valor .
  • Mínimo global nos pontos e com valor .

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