Seja . Mostre que não existe valor em tal que . Por que isso não contradiz o teorema do Valor Médio?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos provar que não existe um valor no intervalo que satisfaça a equação . Além disso, precisamos explicar por que isso não contraria o Teorema do Valor Médio. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas e aplicar o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de e . Substituindo na função dada:

Passo 3

Agora, calculamos a diferença :

Passo 4

Em seguida, encontramos a derivada da função . A derivada de é:

Passo 5

De acordo com o exercício, queremos encontrar um valor em que satisfaça a equação:
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar :

Resposta

Encontramos que está dentro do intervalo e satisfaz a equação dada. Portanto, existe sim um valor em que cumpre a condição estabelecida. Isso confirma o Teorema do Valor Médio, que garante a existência de tal ponto onde a derivada iguala a taxa de variação média da função no intervalo.

Exercícios relacionados

Encontre os valores de máximo e mínimo global de no intervalo dado.
Determine as derivadas parciais indicadas.
(e) .
Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo ©
Calcule as seguintes integrais: