Seja
. Mostre que não existe valor
em
tal que
. Por que isso não contradiz o teorema do Valor Médio?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos provar que não existe um valor
no intervalo
que satisfaça a equação
. Além disso, precisamos explicar por que isso não contraria o Teorema do Valor Médio. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas e aplicar o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de
e
. Substituindo na função dada:
Passo 3
Agora, calculamos a diferença
:
Passo 4
Em seguida, encontramos a derivada da função
. A derivada de
é:
Passo 5
De acordo com o exercício, queremos encontrar um valor
em
que satisfaça a equação:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Resposta
Encontramos que
está dentro do intervalo
e satisfaz a equação dada. Portanto, existe sim um valor
em
que cumpre a condição estabelecida. Isso confirma o Teorema do Valor Médio, que garante a existência de tal ponto
onde a derivada
iguala a taxa de variação média da função no intervalo.
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Encontre os valores de máximo e mínimo global de
no intervalo dado.
Determine as derivadas parciais indicadas.
(e) .
(e)
Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo ©
Calcule as seguintes integrais: