Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)
Passo 1
No exercício, precisamos encontrar a diferencial total da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciais de funções de múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis independentes, que são
,
e
, e a função
que depende dessas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
Passo 6
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da diferencial total:
Substituindo as derivadas calculadas:
Resposta
A diferencial total da função é:
Exercícios relacionados
Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização
naquele ponto. $(a)
ponto
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto
. $(b)
Determine as derivadas parciais indicadas:
Determine as derivadas parciais indicadas: