Determine a diferencial total das funções abaixo. $(b)

Passo 1

No exercício, precisamos encontrar a diferencial total da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciais de funções de múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis independentes, que são , e , e a função que depende dessas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra do quociente:

Passo 6

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do quociente novamente:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da diferencial total:
Substituindo as derivadas calculadas:

Resposta

A diferencial total da função é:

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Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização naquele ponto. $(a) ponto
Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto . $(b)
Determine as derivadas parciais indicadas:
Determine as derivadas parciais indicadas: