A função erro dada por
erf(x)=2raizpi integral0^x e^-t^2 d t
é muito usada em probabilidade, estatística e engenharia.
Mostre que integrala^b e^-t^2 d t=12 raizpi[erf(b)-erf(a)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral de de até pode ser expressa usando a função erro, que é muito usada em áreas como probabilidade e estatística. Para isso, vamos precisar entender o que é a função erro ( ) e como ela está relacionada com integrais envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da função erro:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt
Isso quer dizer que a função erro é basicamente uma forma de medir a área sob a curva de de até , ajustada por um fator .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a integral de integrala^b e^-t^2 , dt de até :
Para conectar isso com a função erro, vamos pensar em como expressar essa integral usando .

Passo 4

Vamos usar a definição de integral0^x e^-t^2 , dt = raizpi2 erf(x) . Sabemos que:
Isso vem simplesmente reorganizando a defini��ão da função erro para isolar a integral.

Passo 5

Agora, queremos a integral de integrala^b e^-t^2 , dt = integral0^b e^-t^2 , dt - integral0^a e^-t^2 , dt a . Podemos escrever isso como a diferença entre a integral de a e a integral de a :
Usando a expressão que encontramos no passo anterior, substituímos as integrais:

Passo 6

Substituindo:
integrala^b e^-t^2 , dt = raizpi2 erf(b) - raizpi2 erf(a)
Fatorando , temos:

Passo 7

integrala^b e^-t^2 , dt = raizpi2 [ erf(b) - erf(a) ]
E assim, chegamos à expressão que queríamos demonstrar.

Resposta

integrala^b e^-t^2 , dt = raizpi2 [ erf(b) - erf(a) ]

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