Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos uma das variáveis (
,
ou
), mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, consideramos
e
como constantes.
A função é um produto de
e
, então usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
. Aqui,
e
são consideradas constantes.
Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada termo:
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
,
. Neste caso,
e
são constantes.
A função tem apenas um termo que depende de
, que é
, então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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a) .
a)