Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos uma das variáveis ( , ou ), mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, consideramos e como constantes.
A função é um produto de e , então usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , . Aqui, e são consideradas constantes.
Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada termo:
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , . Neste caso, e são constantes.
A função tem apenas um termo que depende de , que é , então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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a) .