Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto ao elipsoide

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsoide definido pela equação
e queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal a esse elipsoide no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está sobre o elipsoide. Substituindo os valores na equação do elipsoide:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no elipsoide.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto dado, usamos a equação baseada no gradiente. Se temos uma função que descreve a superfície, ou seja, , o plano tangente no ponto é dado por:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 4

Vamos definir a função para o nosso elipsoide:
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

No ponto , substituímos os valores das derivadas parciais:
Esses valores formam o vetor gradiente , que é perpendicular à superfície no ponto dado.

Passo 6

Substituímos esses valores na equação do plano tangente:
Vamos simplificar essa equação.

Passo 7

Distribuindo os termos:
Somando os termos constantes:
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 3:
Reorganizando:
Essa é a equação do plano tangente.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao elipsoide no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor gradiente .

Passo 9

A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é
e a equação paramétrica da reta normal é:

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d)
Determine os valores máximos e mínimos locais de . Considere a função .
Mostre que o seguinte limite não existe:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.