Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto ao elipsoide
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsoide definido pela equação
e queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal a esse elipsoide no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está sobre o elipsoide. Substituindo os valores na equação do elipsoide:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no elipsoide.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto dado, usamos a equação baseada no gradiente. Se temos uma função que descreve a superfície, ou seja, , o plano tangente no ponto é dado por:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.
Passo 4
Vamos definir a função para o nosso elipsoide:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
No ponto , substituímos os valores das derivadas parciais:
Esses valores formam o vetor gradiente , que é perpendicular à superfície no ponto dado.
Passo 6
Substituímos esses valores na equação do plano tangente:
Vamos simplificar essa equação.
Passo 7
Distribuindo os termos:
Somando os termos constantes:
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 3:
Reorganizando:
Essa é a equação do plano tangente.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao elipsoide no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor gradiente .
Passo 9
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o parâmetro.