Mostre que o seguinte limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x y cos x4 x^2+y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente quer mostrar que o limite
lim (x, y) (0,0) x y cos x4 x^2+y^2
não existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado do limite é o mesmo quando a gente se aproxima do ponto (0,0) por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função, fica assim:
x cdot 0 cdot cos x4x^2+0^2 = 04x^2 = 0
Então, o limite ao longo do eixo x é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite seguindo uma linha diferente, por exemplo, y = 2x. Substituindo y = 2x na função, temos:
x cdot 2x cos x4x^2 + (2x)^2 = 2x^2 cos x4x^2 + 4x^2 = 2x^2 cos x8x^2 = cos x4
Quando x se aproxima de 0, cos x se aproxima de 1. Então, o limite nessa direção é:
14

Passo 4

Observamos que ao nos aproximar de (0,0) pelo eixo x, o limite foi 0, e ao nos aproximar pela linha y = 2x, o limite foi 14. Como os limites são diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em (0,0), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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