Mostre que o seguinte limite não existe:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente quer mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado do limite é o mesmo quando a gente se aproxima do ponto por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de ao longo do eixo x, ou seja, quando . Substituindo na função, fica assim:
Então, o limite ao longo do eixo x é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite seguindo uma linha diferente, por exemplo, . Substituindo na função, temos:
Quando se aproxima de , se aproxima de . Então, o limite nessa direção é:

Passo 4

Observamos que ao nos aproximar de pelo eixo x, o limite foi , e ao nos aproximar pela linha , o limite foi . Como os limites são diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em , isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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