Mostre que o seguinte limite não existe:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente quer mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado do limite é o mesmo quando a gente se aproxima do ponto
por caminhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando nos aproximamos de
ao longo do eixo x, ou seja, quando
. Substituindo
na função, fica assim:
Então, o limite ao longo do eixo x é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite seguindo uma linha diferente, por exemplo,
. Substituindo
na função, temos:
Quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Então, o limite nessa direção é:
Passo 4
Observamos que ao nos aproximar de
pelo eixo x, o limite foi
, e ao nos aproximar pela linha
, o limite foi
. Como os limites são diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em
, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.
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