Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O objetivo aqui é determinar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso envolve entender como derivar funções que têm variáveis múltiplas, usando regras como a da derivada de quociente. Vamos precisar usar a regra do quociente e lembrar como derivar termos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos , e como constantes e derivamos apenas em relação a .
A função é um quociente, então usamos a regra do quociente:
Como não depende de , sua derivada em relação a é zero.
Substituindo de volta na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos , e como constantes e derivamos em relação a .
Usamos novamente a regra do quociente:
Calculando as derivadas parciais individuais:
Substituindo de volta:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes e derivamos em relação a .
Usando a regra do quociente:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo de volta:

Passo 5

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Observamos que a função não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Mostre que o seguinte limite não existe:
Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
a) .
Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
d) .