Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto:
Onde
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função continua sendo
. Dessa vez, tratamos
como uma constante e derivamos com respeito a
:
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar o logaritmo:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
Exercícios relacionados
Seja a função
. Determine: O limite
existe? Justifique.
Seja a função
. Determine:
Uma empresa de tecnologia está analisando o custo de manutenção de servidores, modelado pela função
, onde
representa o custo total em reais após
anos de uso. Explique o que o limite representa sobre o custo a longo prazo.