Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(r, s) = r ln(r^2 + s^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .
A função é . Aqui, temos um produto de duas funções de : e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto:
Onde e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Agora aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .
A função continua sendo . Dessa vez, tratamos como uma constante e derivamos com respeito a :
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar o logaritmo:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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