Seja a função f(x)=4 x-x^2x-4. Determine: O limite lim x 4 f(x) existe? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o limite da função quando se aproxima de 4. O conteúdo envolvido aqui é o de limites de funções, um conceito fundamental no estudo de cálculo. Para resolver, vamos precisar simplificar a função e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a função 4x - x^2 = -x^2 + 4x . Observamos que o numerador é . Podemos reescrever esse termo rearranjando os termos:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador. Colocamos um fator comum de -x^2 + 4x = -x(x - 4) :

Passo 4

Substituindo de volta na função original, temos:
f(x) = -x(x - 4)x - 4
Aqui, percebemos que aparece tanto no numerador quanto no denominador, o que nos permite simplificar a expressão.

Passo 5

Cancelamos o termo f(x) = -x para x neq 4 no numerador e denominador:
Agora, a função simplificada é , exceto quando , onde a função original não está definida devido à divisão por zero.

Passo 6

Para encontrar o limite quando limx to 4 f(x) = limx to 4 (-x) = -4 se aproxima de 4, substituímos diretamente na função simplificada:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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