Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
e precisa achar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis:
,
,
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial, que envolvem tratar as outras variáveis como constantes enquanto derivamos em relação àquela que estamos focando.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes. A função se torna
. A derivada de
é simplesmente 1, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a
,
. Nesse caso,
,
e
são constantes. A função fica
. Usando a regra do poder, a derivada de
é
, então:
Passo 4
Vamos agora derivar em relação a
, ou seja,
. Aqui,
,
e
são constantes. A função é
. Para derivar
, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. A derivada será:
Passo 5
Por fim, vamos derivar em relação a
,
. Nesse caso,
,
e
são constantes. A função fica
. A derivada de
em relação a
é
, então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(d)
(d)
Se a força que age sobre a partícula é conhecida, então a aceleração pode ser determinada a partir da Segunda Lei de Newton para o Movimento. A versão vetorial dessa lei nos diz que, se em qualquer instante de tempo
, uma força
age sobre um objeto de massa
produzindo uma aceleração
, então
.
Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante
tem vetor posição dado por
. Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando em direção à origem. Essa força é chamada força centrípeta.
Um objeto de massa