Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z, t) = xy^2 / (t + 2z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisa achar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis: , , e . Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial, que envolvem tratar as outras variáveis como constantes enquanto derivamos em relação àquela que estamos focando.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos , e como constantes. A função se torna . A derivada de é simplesmente 1, então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , . Nesse caso, , e são constantes. A função fica . Usando a regra do poder, a derivada de é , então:

Passo 4

Vamos agora derivar em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes. A função é . Para derivar , usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. A derivada será:

Passo 5

Por fim, vamos derivar em relação a , . Nesse caso, , e são constantes. A função fica . A derivada de em relação a é , então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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