Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada do produto de duas curvas diferenciáveis,
e
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do produto para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções e entender como a multiplicação de funções diferenciáveis é tratada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma função. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, que neste caso é
. Então, quando derivamos
, obtemos
, que indica como
está mudando à medida que
muda. O mesmo vale para
, cuja derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos focar na expressão que queremos derivar:
. Aqui, o ponto representa o produto escalar entre as duas curvas. Para derivar essa expressão, precisamos aplicar a regra do produto. A regra do produto nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.
Passo 4
Aplicando a regra do produto na nossa expressão, temos:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, a derivada do produto das curvas
e
é dada por:
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Mostre que a curva parametrizada por
é uma curva fechada simples.
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
(d)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.