Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada do produto de duas curvas diferenciáveis, e . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do produto para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções e entender como a multiplicação de funções diferenciáveis é tratada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar uma função. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, que neste caso é . Então, quando derivamos , obtemos , que indica como está mudando à medida que muda. O mesmo vale para , cuja derivada é .

Passo 3

Agora, vamos focar na expressão que queremos derivar: . Aqui, o ponto representa o produto escalar entre as duas curvas. Para derivar essa expressão, precisamos aplicar a regra do produto. A regra do produto nos diz que a derivada de duas funções multiplicadas é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Passo 4

Aplicando a regra do produto na nossa expressão, temos:
Isso significa que:

Resposta

Portanto, a derivada do produto das curvas e é dada por:

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Mostre que a curva parametrizada por é uma curva fechada simples.
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.