Mostre que se
é uma reta, então os vetores
e
são paralelos. A recíproca é verdadeira?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que se
é uma reta, então os vetores
(a primeira derivada de
) e
(a segunda derivada de
) são paralelos. Além disso, temos que verificar se o contrário também é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser uma reta. Uma reta no espaço pode ser descrita por uma função vetorial de parâmetro
da forma:
onde
é um ponto inicial e
é um vetor constante que indica a direção da reta.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada,
, representa a velocidade:
A segunda derivada,
, representa a aceleração:
onde
é o vetor nulo.
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
e
são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. No nosso caso:
Portanto,
é um múltiplo escalar de
, já que qualquer vetor multiplicado por zero é paralelo a ele mesmo.
Passo 5
Agora, vamos analisar a recíproca: se
e
são paralelos, será que
é uma reta? Para isso, vamos supor que
, onde
é uma função escalar.
Passo 6
Integramos essa relação para encontrar
. Se
, então:
Integrando ambos os lados:
Isso nos daria
, o que implica que
é uma função exponencial de
.
Passo 7
No entanto, para que
seja uma reta,
deve ser constante (como vimos no Passo 3). Isso só ocorre se
para todo
. Portanto, a recíproca só é verdadeira se
, ou seja, se
.
Resposta
Concluímos que se
é uma reta, então
e
são paralelos. A recíproca também é verdadeira, mas somente quando a segunda derivada
é nula, ou seja, quando a curva tem aceleração zero e, portanto, é uma reta.