Mostre que se gamma é uma reta, então os vetores gamma' e gamma'' são paralelos. A recíproca é verdadeira?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que se gamma é uma reta, então os vetores (a primeira derivada de gamma) e (a segunda derivada de gamma) são paralelos. Além disso, temos que verificar se o contrário também é verdadeiro. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gamma ser uma reta. Uma reta no espaço pode ser descrita por uma função vetorial de parâmetro t da forma:
onde a é um ponto inicial e b é um vetor constante que indica a direção da reta.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de gamma(t). A primeira derivada, , representa a velocidade:
A segunda derivada, , representa a aceleração:
onde 0 é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, queremos mostrar que e são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. No nosso caso:
Portanto, é um múltiplo escalar de , já que qualquer vetor multiplicado por zero é paralelo a ele mesmo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a recíproca: se e são paralelos, será que gamma é uma reta? Para isso, vamos supor que , onde é uma função escalar.

Passo 6

Integramos essa relação para encontrar . Se , então:
Integrando ambos os lados:
Isso nos daria , o que implica que é uma função exponencial de .

Passo 7

No entanto, para que gamma(t) seja uma reta, deve ser constante (como vimos no Passo 3). Isso só ocorre se para todo t. Portanto, a recíproca só é verdadeira se , ou seja, se .

Resposta

Concluímos que se gamma é uma reta, então e são paralelos. A recíproca também é verdadeira, mas somente quando a segunda derivada é nula, ou seja, quando a curva tem aceleração zero e, portanto, é uma reta.

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