Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(b)
(b)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem duas curvas diferenciáveis, chamadas de
e
, e um número real
. A questão pede para mostrar que a derivada de
em relação a
é igual a
multiplicado pela derivada de
. Basicamente, estamos trabalhando com derivadas no cálculo diferencial e vamos usar a regra de derivação de funções multiplicadas por constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada tem uma propriedade bem legal chamada linearidade. Isso significa que se você tem uma constante multiplicando uma função, a derivada dessa expressão é a constante multiplicando a derivada da função. Em termos matemáticos, isso se escreve como:
onde
é uma constante e
é uma função diferenciável.
Passo 3
Agora, aplicando essa propriedade à nossa expressão
, temos que a derivada em relação a
é:
Aqui,
é simplesmente a derivada de
com respeito a
, que a gente pode escrever como
.
Passo 4
Então, juntando tudo, a derivada de
em relação a
fica: