Suponha que alpha e beta sejam curvas diferenciáveis, c em R e f: R -> R uma função real diferenciável. Então,
(b) d/dt [c alpha(t)] = c alpha'(t)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem duas curvas diferenciáveis, chamadas de alpha e beta, e um número real c. A questão pede para mostrar que a derivada de em relação a t é igual a c multiplicado pela derivada de alpha(t). Basicamente, estamos trabalhando com derivadas no cálculo diferencial e vamos usar a regra de derivação de funções multiplicadas por constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada tem uma propriedade bem legal chamada linearidade. Isso significa que se você tem uma constante multiplicando uma função, a derivada dessa expressão é a constante multiplicando a derivada da função. Em termos matemáticos, isso se escreve como:
onde c é uma constante e g(t) é uma função diferenciável.

Passo 3

Agora, aplicando essa propriedade à nossa expressão , temos que a derivada em relação a t é:
Aqui, é simplesmente a derivada de alpha(t) com respeito a t, que a gente pode escrever como .

Passo 4

Então, juntando tudo, a derivada de em relação a t fica:

Resposta

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