Se a força que age sobre a partícula é conhecida, então a aceleração pode ser determinada a partir da Segunda Lei de Newton para o Movimento. A versão vetorial dessa lei nos diz que, se em qualquer instante de tempo t, uma força F(t) age sobre um objeto de massa m produzindo uma aceleração a(t), então F(t) = m a(t).
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante omega tem vetor posição dado por r(t) = (a cos(ω t), a sen(ω t)). Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando em direção à origem. Essa força é chamada força centrípeta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um objeto com massa que está se movendo em uma trajetória circular com velocidade angular constante . A posição do objeto no tempo é dada por:
O que a gente precisa fazer é descobrir qual é a força que está agindo nesse objeto e mostrar que essa força aponta sempre para o centro do círculo, ou seja, para a origem. Essa força que puxa o objeto para o centro é chamada de força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz:
Isso significa que a força que age sobre o objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração. Então, para encontrar a força, primeiro precisamos encontrar a aceleração do objeto.

Passo 3

A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos achar a primeira derivada de para obter a velocidade :
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a aceleração :
Então, a aceleração é:
Isso mostra que a aceleração é sempre contrária à posição, ou seja, aponta para o centro do círculo.

Passo 4

Agora que temos a aceleração, podemos usar a Segunda Lei de Newton para encontrar a força:
Portanto, a força é proporcional à posição e aponta na direção oposta, ou seja, para o centro do círculo.

Passo 5

Vamos escrever a força de forma mais clara:
Isso significa que a força tem a mesma direção da reta que liga o objeto à origem, mas aponta para a origem. Essa é exatamente a definição da força centrípeta.

Resposta

A força que age sobre o objeto é:
Essa força está sempre direcionada para a origem, ou seja, ao longo da reta que passa pela posição do objeto e pelo centro do círculo. Por isso, ela é chamada de força centrípeta.

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