Determine e esboce o domínio da função definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . Isso envolve entender onde essa função está bem definida, ou seja, para quais valores de e ela não dá problema. Vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e condições de existência de raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função: . Para que a raiz quadrada esteja definida, o que está dentro dela precisa ser maior que zero. Então, temos a condição:
Isso garante que a raiz não seja de um número negativo, o que não existe nos números reais.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação:
Essa desigualdade descreve todos os pontos que estão a uma distância menor que 2 do ponto de origem (0,0).

Passo 4

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde ao interior de um círculo com raio 2 centrado na origem.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que estão dentro do círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja, .

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(a) e
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é contínua em ? Justifique sua resposta.
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